مشتق عكسي

دالة التي مشتقها هي الدالة الأصلية، وهي عملية عكسية للاشتقاق
(بالتحويل من تكامل غير محدود)
Question book-new.svg
تعرَّف على طريقة إصلاح المشكلة من أجل إزالة هذا القالب.تحتاج هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر إضافية لتحسين وثوقيتها. فضلاً ساهم في تطوير هذه المقالة بإضافة استشهادات من مصادر موثوقة. من الممكن التشكيك بالمعلومات غير المنسوبة إلى مصدر وإزالتها. (ديسمبر 2017)

في التحليل الرياضي، المشتق العكسي أو التكامل غير المحدود، أو الدالة الأصلية لدالة حقيقية f (بالإنكليزية: Antiderivative) هي دالة F مشتقها تساوي : f، أي أن F′ = f.[1][2]

مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة
مبرهنة رول
تفاضل وتكامل كسري

القواعد الرياضيةعدل

يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياً بالصيغة:

 
حيث
 

استُعمل الرمز   للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير F(x) + C هو الاشتقاق العكسي العام للدالة لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.

تشتق قواعد التكامل غير المحدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.

فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت، أي:

 

كذلك الحال لمجموع دالتين f وg أو الفرق بينهما:

 

الطرق المختلفة لايجاد التكاملعدل

ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهة.

هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:

العلاقة الخطيةعدل

 

التكامل بالتعويضعدل

 

التكامل بالتجزيءعدل

 

التكامل بالنشرعدل

يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها.

باستخدام مفكوك تايلور

 

باستخدام مفكوك ماكلورين

 

التكامل بالتحليل العدديعدل

تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.

تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:

 

حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (ba)/n وk = 0, 1, 2,..., n−1

مراجععدل

  1. ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (الطبعة 9th). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (الطبعة 6th). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

انظر أيضاعدل