نصف قطر التقارب

في الرياضيات، نصف قطر التقارب (بالإنجليزية: Radius of Convergence)‏ لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة، وهو إما عدد حقيقي غير سالب أو ∞.

وفقًا لمبرهنة كوشي-هادامار، تعطى نصف قطر تقارب متسلسلة من الشكل $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$، مع $a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R}$، بواسطة العبارة التالية:

${\frac {1}{r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}$

إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة دالة هو ما لا نهاية، يمكن أن تمدد الدالة إلى دالة كاملة.

أمثلة

من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

نحسب نصف قطر التقارب:

${\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(n+1)!}}\right|\div \left|{\frac {1}{n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n+1}}\right|\\&=0\end{aligned}}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو $\infty$.

• نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة $\ln(1+x)$:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,$

نحسب نصف قطر تقاربه:

${\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\div \left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {n}{(-1)^{n-1}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {-n}{(-1)^{n}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {-n}{n+1}}\right|\\&=1\end{aligned}}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو $r=1$.