ملف:Julia set with 3 external rays.svg
حجم معاينة PNG لذلك الملف ذي الامتداد SVG: 600 × 600 بكسل. الأبعاد الأخرى: 240 × 240 بكسل | 480 × 480 بكسل | 768 × 768 بكسل | 1٬024 × 1٬024 بكسل | 2٬048 × 2٬048 بكسل | 1٬000 × 1٬000 بكسل.
الملف الأصلي (ملف SVG، أبعاده 1٬000 × 1٬000 بكسل، حجم الملف: 1٫5 ميجابايت)
هذا ملف من ويكيميديا كومنز. معلومات من صفحة وصفه مبينة في الأسفل. كومنز مستودع ملفات ميديا ذو رخصة حرة. |
محتويات
ملخص
الوصفJulia set with 3 external rays.svg |
English: Julia set and external rays landing on fixed point . Parametr c is in the center of period 3 hyperbolic component of Mandelbrot set |
التاريخ | |
المصدر | عمل شخصي |
المؤلف | Adam majewski |
إصدارات أخرى |
|
ترخيص
أنا، صاحب حقوق التأليف والنشر لهذا العمل، أنشر هذا العمل تحت الرخص التالية:
هذا الملفُّ مُرخَّص بموجب رخصة المشاع الإبداعي نسبة المُصنَّف إِلى مُؤَلِّفه - المشاركة بالمثل 3.0 العامة
- يحقُّ لك:
- مشاركة العمل – نسخ العمل وتوزيعه وبثُّه
- إعادة إنتاج العمل – تعديل العمل
- حسب الشروط التالية:
- نسب العمل إلى مُؤَلِّفه – يلزم نسب العمل إلى مُؤَلِّفه بشكل مناسب وتوفير رابط للرخصة وتحديد ما إذا أجريت تغييرات. بالإمكان القيام بذلك بأية طريقة معقولة، ولكن ليس بأية طريقة تشير إلى أن المرخِّص يوافقك على الاستعمال.
- الإلزام بترخيص المُشتقات بالمثل – إذا أعدت إنتاج المواد أو غيرت فيها، فيلزم أن تنشر مساهماتك المُشتقَّة عن الأصل تحت ترخيص الأصل نفسه أو تحت ترخيص مُتوافِقٍ معه.
يسمح نسخ وتوزيع و/أو تعديل هذه الوثيقة تحت شروط رخصة جنو للوثائق الحرة، الإصدار 1.2 أو أي إصدار لاحق تنشره مؤسسة البرمجيات الحرة؛ دون أقسام ثابتة ودون نصوص أغلفة أمامية ودون نصوص أغلفة خلفية. نسخة من الرخصة تم تضمينها في القسم المسمى GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
لك أن تختار الرخصة التي تناسبك.
File usage outside Commons
Compare with
- Program madel by Wolf Jung. See Main Menu, Help, Demo3, page 5[1]
-
external and internal rays
-
c=-0,123+0.745i
-
C=-0.12256+0.74486i; LCM/J
-
C-0.12+0.665*i; CPM/J
-
c=-0.11+0.65569999*i ; MIIM
-
c=-0.11+0.65569999*i; mIIM/J
-
c = −0,123 + 0.745i; Quaternion julia set. The "Douady Rabbit" julia set is visible in the cross section
-
Douady rabbit in an exponential family
What program does ?
Program draws to png file :
- repelling fixed point and other fixed point
- superattracting 3-point cycle (limit cycle) : ( period is 3 )
- Julia set ( backward orbit of repelling fixed point ) using modified inverse iteration method (MIIM/J)
- 3 external rays of period 3 cycle : , which land on fixed point
Algorithms
- drawing Julia set
- drawing external ray is based on c program by Curtis McMullen[2] and its Pascal version by Matjaz Erat[3]
Software needed
- Maxima CAS
- gnuplot for drawing ( creates png file )
Tested on versions :
- wxMaxima 0.7.6
- Maxima 5.16.3
- Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL)
- Gnuplot Version 4.2 patchlevel 3
Source code
It is a batch file for Maxima CAS.
/*
batch file for Maxima CAS
*/
start:elapsed_run_time ();
kill(all);
remvalue(all);
/* --------------------------definitions of functions ------------------------------*/
f(z,c):=z*z+c; /* Complex quadratic map */
finverseplus(z,c):=sqrt(z-c);
finverseminus(z,c):=-sqrt(z-c);
/* */
fn(p, z, c) :=
if p=0 then z
elseif p=1 then f(z,c)
else f(fn(p-1, z, c),c);
/*Standard polynomial F_p \, which roots are periodic z-points of period p and its divisors */
F(p, z, c) := fn(p, z, c) - z ;
/* Function for computing reduced polynomial G_p\, which roots are periodic z-points of period p without its divisors*/
G[p,z,c]:=
block(
[f:divisors(p),
t:1], /* t is temporary variable = product of Gn for (divisors of p) other than p */
f:delete(p,f), /* delete p from list of divisors */
if p=1
then return(F(p,z,c)),
for i in f do
t:t*G[i,z,c],
g: F(p,z,c)/t,
return(ratsimp(g))
)$
GiveRoots(g):=
block(
[cc:bfallroots(expand(%i*g)=0)],
cc:map(rhs,cc),/* remove string "c=" */
cc:map('float,cc),
return(cc)
)$
/*
circle D={w:abs(w)=1 } where w=l(t,r)
t is angle in turns ; 1 turn = 360 degree = 2*Pi radians
r is a radius
*/
GiveC(angle,radius):=
(
[w], /* point of unit circle w:l(internalAngle,internalRadius); */
w:radius*%e^(%i*angle*2*%pi), /* point of circle */
float(rectform(w/2-w*w/4)) /* point in a period 1 component of Mandelbrot set */
)$
/* endcons the complex point to list in the format for draw package */
endconsD(point,list):=endcons([realpart(point),imagpart(point)],list)$
consD(point,list):=cons([realpart(point),imagpart(point)],list)$
GiveForwardOrbit(z0,c,iMax):=
/*
computes (without escape test)
forward orbit of point z0
and saves it to the list for draw package */
block(
[z,orbit,temp],
z:z0, /* first point = critical point z:0+0*%i */
orbit:[[realpart(z),imagpart(z)]],
for i:1 thru iMax step 1 do
( z:expand(f(z,c)),
orbit:endcons([realpart(z),imagpart(z)],orbit)),
return(orbit)
)$
/* gives 3 sublists from forward orbit of internal point */
GiveInternalRays(z0,c,iMax):= block
([a,b,d,z],
a:[],
b:[],
d:[],
z:z0,
for i:1 thru iMax step 1 do
(
a:consD(z,a),
z:f(z,c),
b:consD(z,b),
z:f(z,c),
d:consD(z,d),
z:f(z,c)
),
return([a,b,d])
)$
/* Gives points of backward orbit of z=repellor */
GiveBackwardOrbit(c,repellor,zxMin,zxMax,zyMin,zyMax,iXmax,iYmax):=
block(
hit_limit:4, /* proportional to number of details and time of drawing */
PixelWidth:(zxMax-zxMin)/iXmax,
PixelHeight:(zyMax-zyMin)/iYmax,
/* 2D array of hits pixels . Hit > 0 means that point was in orbit */
array(Hits,fixnum,iXmax,iYmax), /* no hits for beginning */
/* choose repeller z=repellor as a starting point */
stack:[repellor], /*save repellor in stack */
/* save first point to list of pixels */
x_y:[repellor],
/* reversed iteration of repellor */
loop,
/* pop = take one point from the stack */
z:last(stack),
stack:delete(z,stack),
/*inverse iteration - first preimage (root) */
z:finverseplus(z,c),
/* translate from world to screen coordinate */
iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
hit:Hits[iX,iY],
if hit<hit_limit
then
(
Hits[iX,iY]:hit+1,
stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack */
if hit=0 then x_y:endcons( z,x_y)
),
/*inverse iteration - second preimage (root) */
z:-z,
/* translate from world to screen coordinate, coversion to integer */
iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
hit:Hits[iX,iY],
if hit<hit_limit
then
(
Hits[iX,iY]:hit+1,
stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack to continue iteration */
if hit=0 then x_y:endcons( z,x_y)
),
if is(not emptyp(stack)) then go(loop),
return(x_y) /* list of pixels in the form [z1,z2] */
)$
/*-----------------------------------*/
Psi_n(r,t,z_last, Max_R):=
/* */
block(
[iMax:200,
iMax2:0],
/* ----- forward iteration of 2 points : z_last and w --------------*/
array(forward,iMax-1), /* forward orbit of z_last for comparison */
forward[0]:z_last,
i:0,
while cabs(forward[i])<Max_R and i< ( iMax-2) do
(
/* forward iteration of z in fc plane & save it to forward array */
forward[i+1]:forward[i]*forward[i] + c, /* z*z+c */
/* forward iteration of w in f0 plane : w(n+1):=wn^2 */
r:r*2, /* square radius = R^2=2^(2*r) because R=2^r */
t:mod(2*t,1),
/* */
iMax2:iMax2+1,
i:i+1
),
/* compute last w point ; it is equal to z-point */
R:2^r,
/* w:R*exp(2*%pi*%i*t), z:w, */
array(backward,iMax-1),
backward[iMax2]:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))), /* use last w as a starting point for backward iteration to new z */
/* ----- backward iteration point z=w in fc plane --------------*/
for i:iMax2 step -1 thru 1 do
(
temp:float(rectform(sqrt(backward[i]-c))), /* sqrt(z-c) */
scalar_product:realpart(temp)*realpart(forward[i-1])+imagpart(temp)*imagpart(forward[i-1]),
if (0>scalar_product) then temp:-temp, /* choose preimage */
backward[i-1]:temp
),
return(backward[0])
)$
GiveRay(t,c):=
block(
[r],
/* range for drawing R=2^r ; as r tends to 0 R tends to 1 */
rMin:1E-10, /* 1E-4; rMin > 0 ; if rMin=0 then program has infinity loop !!!!! */
rMax:2,
caution:0.9330329915368074, /* r:r*caution ; it gives smaller r */
/* upper limit for iteration */
R_max:300,
/* */
zz:[], /* array for z points of ray in fc plane */
/* some w-points of external ray in f0 plane */
r:rMax,
while 2^r<R_max do r:2*r, /* find point w on ray near infinity (R>=R_max) in f0 plane */
R:2^r,
w:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))),
z:w, /* near infinity z=w */
zz:cons(z,zz),
unless r<rMin do
( /* new smaller R */
r:r*caution,
R:2^r,
/* */
w:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))),
/* */
last_z:z,
z:Psi_n(r,t,last_z,R_max), /* z=Psi_n(w) */
zz:cons(z,zz)
),
return(zz)
)$
/*
find symmetric point z3
z3 is the same line as z1 and z2 such z2 is between z1 and z3
*/
GiveNextPoint(z1,z2):=(
[x,y,dx,dy],
dx:realpart(z1)-realpart(z2),
dy:imagpart(z1)-imagpart(z2),
x:realpart(z2)-dx,
y:imagpart(z2)-dy,
x+y*%i
)$
compile(all)$
/* ----------------------- main ----------------------------------------------------*/
period:3$
/* external angle in turns */
/* resolution is proportional to number of details and time of drawing */
iX_max:1000;
iY_max:1000;
/* define z-plane ( dynamical ) */
ZxMin:-2.0;
ZxMax:2.0;
ZyMin:-2.0;
ZyMax:2.0;
/* limit cycle */
k:G[period,z,c]$ /* here c and z are symbols */
/* c:-0.12256+0.74486*%i; value by Milnor*/
c:0.74486176661974*%i-0.12256116687665; /* center of period 3 component */
/* find periodic z points */
s:GiveRoots(ev(k))$ /* ev moves value to c symbol here */
z0:s[1];
z1:rectform(float(f(z0,c)));
z2:rectform(float(f(z1,c)));
/* create 2 sublists : s1 and s2 from one list s */
s1:[z0,z1,z2]$
s2:delete(s[1],s);
for z in s2 do if abs(z-z1)<0.1 then s2:delete(z,s2) ;
for z in s2 do if abs(z-z2)<0.1 then s2:delete(z,s2) ;
/* compute fixed points */
beta:float(rectform((1+sqrt(1-4*c))/2)); /* compute repelling fixed point beta */
alfa:float(rectform((1-sqrt(1-4*c))/2)); /* other fixed point */
/* compute backward orbit of repelling fixed point */
xy: GiveBackwardOrbit(c,beta,ZxMin,ZxMax,ZyMin,ZyMax,iX_max,iY_max)$ /**/
/* compute ray points & save to zz list */
eRay1o7:GiveRay(1/7,c)$
eRay2o7:GiveRay(2/7,c)$
eRay4o7:GiveRay(4/7,c)$
/* time of computations */
time:fix(elapsed_run_time ()-start)$
/* draw it using draw package by */
load(draw);
path:"~/maxima/batch/julia/rabbit/"$ /* if empty then file is in a home dir */
/* if graphic file is empty (= 0 bytes) then run draw2d command again */
draw2d(
terminal = 'svg,
file_name = sconcat(path,"Julia_1_3g"),
user_preamble="set size square;set key bottom right",
title= concat("Dynamical plane for fc(z)=z*z+",string(c)),
dimensions = [iX_max, iY_max],
yrange = [ZyMin,ZyMax],
xrange = [ZxMin,ZyMax],
xlabel = "Z.re ",
ylabel = "Z.im",
point_type = filled_circle,
points_joined =true,
point_size = 0.2,
color = red,
points_joined =false,
color = black,
key = "backward orbit of z=beta",
points(map(realpart,xy),map(imagpart,xy)),
points_joined =true,
point_size = 0.2,
color = red,
key = "external ray 1/7",
points(map(realpart,eRay1o7),map(imagpart,eRay1o7)),
key = "external ray 2/7",
points(map(realpart,eRay2o7),map(imagpart,eRay2o7)),
key = "external ray 4/7",
points(map(realpart,eRay4o7),map(imagpart,eRay4o7)),
points_joined =false,
color = blue,
point_size = 1.4,
key = "repelling fixed point z= beta",
points([[realpart(beta),imagpart(beta)]]),
color = yellow,
key = "fixed point alfa and repelling period 3 cycle",
points([[realpart(alfa),imagpart(alfa)]]),
color = green,
key = sconcat("attracting period ",string(period)," cycle"),
points(map(realpart,s1),map(imagpart,s1))
);
Acknowledgements
This program is not only my work but was done with help of many great people (see references). Warm thanks (:-))
References
- ↑ | Program madel by Wolf Jung
- ↑ c program by Curtis McMullen (quad.c in Julia.tar.gz) نسخة مؤرشفة at the Wayback Machine
- ↑ Quadratische Polynome by Matjaz Erat
أنا، صاحب حقوق التأليف والنشر لهذا العمل، أنشر هذا العمل تحت الرخص التالية:
هذا الملفُّ مُرخَّص بموجب رخصة المشاع الإبداعي نسبة المُصنَّف إِلى مُؤَلِّفه - المشاركة بالمثل 3.0 العامة
- يحقُّ لك:
- مشاركة العمل – نسخ العمل وتوزيعه وبثُّه
- إعادة إنتاج العمل – تعديل العمل
- حسب الشروط التالية:
- نسب العمل إلى مُؤَلِّفه – يلزم نسب العمل إلى مُؤَلِّفه بشكل مناسب وتوفير رابط للرخصة وتحديد ما إذا أجريت تغييرات. بالإمكان القيام بذلك بأية طريقة معقولة، ولكن ليس بأية طريقة تشير إلى أن المرخِّص يوافقك على الاستعمال.
- الإلزام بترخيص المُشتقات بالمثل – إذا أعدت إنتاج المواد أو غيرت فيها، فيلزم أن تنشر مساهماتك المُشتقَّة عن الأصل تحت ترخيص الأصل نفسه أو تحت ترخيص مُتوافِقٍ معه.
يسمح نسخ وتوزيع و/أو تعديل هذه الوثيقة تحت شروط رخصة جنو للوثائق الحرة، الإصدار 1.2 أو أي إصدار لاحق تنشره مؤسسة البرمجيات الحرة؛ دون أقسام ثابتة ودون نصوص أغلفة أمامية ودون نصوص أغلفة خلفية. نسخة من الرخصة تم تضمينها في القسم المسمى GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
لك أن تختار الرخصة التي تناسبك.
العناصر المصورة في هذا الملف
يُصوِّر
قيمة ما بدون عنصر ويكي بيانات
٢٨ يونيو 2015
تاريخ الملف
اضغط على زمن/تاريخ لرؤية الملف كما بدا في هذا الزمن.
زمن/تاريخ | صورة مصغرة | الأبعاد | مستخدم | تعليق | |
---|---|---|---|---|---|
حالي | 18:47، 2 مارس 2020 | 1٬000 × 1٬000 (1٫5 ميجابايت) | Soul windsurfer | removed repelling period 3 cycle, which is not at fixed point | |
21:06، 1 مارس 2020 | 1٬000 × 1٬000 (1٫5 ميجابايت) | Soul windsurfer | better description | ||
20:54، 1 مارس 2020 | 1٬000 × 1٬000 (1٫5 ميجابايت) | Soul windsurfer | changed logo | ||
06:52، 28 يونيو 2015 | 1٬000 × 1٬000 (1٫54 ميجابايت) | Soul windsurfer | descr | ||
06:44، 28 يونيو 2015 | 1٬000 × 1٬000 (1٫54 ميجابايت) | Soul windsurfer | {{Information |Description ={{en|1=Julia set and external rays landing on fixed point <math>\alpha_c\,</math>. Parametr c is in the center of period 3 hyperboli... |
استخدام الملف
الصفحة التالية تستخدم هذا الملف:
الاستخدام العالمي للملف
الويكيات الأخرى التالية تستخدم هذا الملف:
- الاستخدام في el.wikipedia.org
- الاستخدام في en.wikipedia.org
- الاستخدام في en.wikibooks.org
- الاستخدام في es.wikipedia.org
بيانات وصفية
هذا الملف يحتوي على معلومات إضافية، غالبا ما تكون أضيفت من قبل الكاميرا الرقمية أو الماسح الضوئي المستخدم في إنشاء الملف.
إذا كان الملف قد عدل عن حالته الأصلية، فبعض التفاصيل قد لا تعبر عن الملف المعدل.
عنوان قصير | Gnuplot |
---|---|
عنوان الصورة | Produced by GNUPLOT 5.3 patchlevel 0 |
العرض | 1000 |
الارتفاع | 1000 |