مستخدم:Mo Mazen/ملعب3

جيب تمام الزاوية الإتجاهي

جيب تمام الزاوية الإتجاهي (بالإنجليزية: directional cosine) كميةٌ رياضية تُستخدم في علم الهندسة التحليلة في وصف وتحليل المتجهات، وتمثل جيب تمام الزاوية للزاوية بين الكمية المتجهة وأحد المحاورالإحداثية الديكارتية.

وجيوب تمام الزاوية الإتجاهية لمتجه ما عبارة عن جيوب تمام الزاوية بين المتجه والمحاور الإحداثية الثلاثة الموجبة، أي أنهم يمثلون مساهمة كل مُركَّبة لقواعد متجهات الوحدة في ذلك الإتجاه.

محاور إحداثيات ديكارتية ثلاثية الأبعاد

لنفرض أن لدينا المتجه ${\vec {v}}$، مُتجهٌ إقليديّ في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد $R^{3}$، مُمَثلًا بهذه الصيغة:

$\mathbf {\vec {v}} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},$

متجه ${\vec {v}}$ في فضاء ${\textbf {R}}^{3}$

إذ تمثل الكميات ${\textbf {e}}_{x},{\textbf {e}}_{y},{\textbf {e}}_{z}$ القواعد القياسية في الإحداثيات الديكارتية، إذن تكون جيوب تمام الزاوية كالآتي:

${\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {\vec {v}} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {\vec {v}} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {\vec {v}} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {\vec {v}} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {\vec {v}} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {\vec {v}} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}$

جيوب تمام الزاوية المتجهية والزوايا المتجية لمتجه الوحدة ${\frac {\vec {v}}{\Vert \mathbf {\vec {v}} \Vert }}$

ومن المتطابقات المهمة المستفادة من هذه المعادلات (عن طريق تربيع كل معادلة وجمعهم):

$\cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$

إذ $\gamma ,\beta ,\alpha$ هنا يمثلون جيوب تمام الزاوية المتجهية، كما وتمثل القيم a, b, c الزوايا المتجهية للمتجه ${\vec {v}}$، والتي هي زوايا حادة -أو منفرجة-.

المعنى العام

بشكل عام أكثر، جيب تمام الزاوية الإتجاهي يعود لجيب تمام الزاوية الواقعة بين أي متجهين، ولهذه القيمة أهمية كبيرة في تشكيل مصفوفة جيب تمام الزاوية التي تمثل مجموعة من القواعد المتعامدة (وطولها = 1 وحدة) بدلالة مجموعة أخرى، أو لتمثيل متجه معروف بالنسبة لقواعد مختلفة.