مستخدم:الرياضياتي العربي/ملعب

الحل الهندسي للمتطابقة الهامة $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

في الرياضيات، يطلق اسم المتطابقات الهامة أو المتساويات الهامة على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، كذلك تحديد العوامل. تساعد المتطابقات الهامة كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. بينت معظم هذه المتطابقات الهامة بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

في هذا القسم بأكمله، a و b عددان حقيقيان، أو عددان عقديان. هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث a و b متبادلان.

خاصيات

المتطابقات الهامة من الدرجة الثانية هي :

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخدها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (b) بـ (b–) في المتساوية الأولى. حسب القاعدة نستنتج الخاصية التالية:

تعريف جداء هام: تسمى التعابير الثلاثة التالية جداء هاما $(a+b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)(a+b).$

—

و نستنتج أيضا :

تعريف مجموع هام: تسمى التعابير الثلاثة التالية مجموعا هاما $a^{2}+2ab+b^{2};\quad a^{2}-2ab+b^{2};\quad a^{2}-b^{2}.$

—

أمثلة

النشر والتعميل

تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي :

$A=(2x-3)^{2}+(x+5)(3-x).$

التعبير A هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:

$(2x-3)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9\quad {\text{;}}\quad A=4x^{2}-12x+9+(x+5)(3-x).$

يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:

$(x+5)(3-x)=x(3-x)+5(3-x)=3x-x^{2}+15-5x=-x^{2}-2x+15.$

بجمع العمليتين نحصل على النتيجة:

$A=4x^{2}-12x+9-x^{2}-2x+15=3x^{2}-14x+24.$

المعادلات من الدرجة الثانية

المقالة الرئيسة: معادلة من الدرجة الثانية

تمكن المتطابقات الهامة من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي:

$x^{2}+2x-5=0.$

لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.

$x^{2}+2x-5=x^{2}+2x+1-6.$

الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل مجموعا هاما، يمكن تطبيق المتطابقة الهامة بحيث تصبح المعادلة على شكل:

$x^{2}+2x-5=(x+1)^{2}-6=(x+1)^{2}-({\sqrt {6}})^{2}=0.$

نستنتج الآن مجموعا هاما جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:

$x^{2}+2x-5=(x+1+{\sqrt {6}})(x+1-{\sqrt {6}})=0.$

الجداء a.b لعددين a و b يكون منعدما إذا وفقط إذا كان a أو b منعدما. . حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:

$(1)\;x+1+{\sqrt {6}}=0\quad {\text{;}}\quad (2)\;x+1-{\sqrt {6}}=0.$

نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:

$x_{1}=-1-{\sqrt {6}}\quad {\text{;}}\quad x_{2}=-1+{\sqrt {6}}.$

متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية

خاصية: لرفع حدودية ذات حدود متعددة إلى الدرجة الثانية، فقط يتم جمع مربع كل حد في الحدودية مع ضعف مجموع الجداءات الممكنة بين الحدود

—مثال: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc),$ $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).$

متطابقات هامة متنوعة

متطابقة أويلر للمربعات الأربعة

متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})$

$=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}$

$+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.$

متطابقة صوفي جيرمين

متطابقة صوفي جرمين تنص على أن لكل عدد x و y، لدينا:

$x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)(x^{2}+2y^{2}+2xy)=((x+y)^{2}+y^{2})((x-y)^{2}+y^{2}).$

متطابقة جون روبرت أرغاند

$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1.$

متطابقة كارل فريدريك غوس

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}].$

متطابقات أدريان لوجاندر

$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}),$

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab,$

$(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2}).$

متطابقات جوزيف لاغرانج

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2},$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}.$

متطابقة هامة من الدرجة n

نظرية ذات الحدين لنيوتن

المقالة الرئيسة: نظرية ذات الحدين

نفس التقنية المتبعة في المتطابقة الهامة ذات الدرجة 2. ليكن a و b عددين حقيقيين:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.$

بطريقة أخرى:

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4};$

$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}.$

بنفس الطريقة:

$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5};$

$(a-b)^{5}=a^{5}-5a^{4}b+10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}+5ab^{4}-b^{5}.$

كذلك يمكن جعلها على أي درجة n باستعمالنظرية ذات الحدين أو نظرية حد الكرخي — نيوتن

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.$

معاملات التعبير المعتبر كحدودية في x و في y تدعى معاملات ثنائية. حتى وإن كان y عددا سالبا، فإنه نحصل على نفس التعابير أعلاه.

أمثلة أخرى

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,$

متطابقات هامة من الدرجة الثالثة

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

متطابقات هامة من الدرجة الرابعة

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,$

$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\,$

متطابقات هامة من الدرجة الخامسة

$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,$

$(a-b)^{5}=a^{5}-5a^{4}b+10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}+5ab^{4}-b^{5}\,$

$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})\,$

متطابقات هامة من الدرجة السادسة

$a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,$

$a^{6}-b^{6}=(a+b)(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,$

متطابقات هامة من الدرجة السابعة

$a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-ab^{5}+a^{2}b^{4}-a^{3}b^{3}+a^{4}b^{2}-a^{5}b+b^{6})\,$

$a^{7}-b^{7}=(a-b)(a^{6}+ab^{5}+a^{2}b^{4}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{2}+a^{5}b+b^{6})\,$

مراجع

تصنيف:مطابقات رياضية تصنيف:حسابيات ابتدائية

المعاملات الثنائية تظهر مداخل في مثلث باسكال حيث كل مدخل هو مجموع المدخلين الموجودين فوقه.

ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع إلى قوة صحيحة ما. ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .

الرياضياتي العربي/ملعب

التاريخ والترميز

عالم الرياضيات أندرياس فون ايتينغ هاوسن هو أول من اقترح الرمز ${\tbinom {n}{k}}$. كان ذلك عام 1826.

الصيغة

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

حيث الأعداد ${n \choose k}$ (و التي تكتب أحيانا $C_{k}^{n}$) هي المعاملات الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

$(x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

مثال :

$n=2~,\qquad (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

$n=3~,\qquad (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,$

$n=4~,\qquad (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,$

البرهان

فلتكن y، x عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية

$n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}$

صحة العنصر التالي

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الأول :

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},$

بتوزيعية $\cdot$ على $+$ :

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}$

بالتفكيك إلى جداء :

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}$

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}$

و هو ما ينهي التبيين الافتراضي.

مراجع

تصنيف:إسحاق نيوتن تصنيف:مبرهنات في الجبر تصنيف:مطابقات رياضية تصنيف:مقالات تحوي براهين تصنيف:موضوعات حاسمة وذات حدين

في الرياضيات، متطابقة المربعات الأربع لأويلر تنص على أن جداء عددين، كلٌ منهما مجموع أربعة مربعات، هو أيضا، مجموع لأربعة مربعات.

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,$

$(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,$

$(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,$

$(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,$

$(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.\,$

كتب أويلر حول هاته المتطابقة في رسالة إلي غولدباخ. كان ذلك في الرابع من مايو عام 1748.