اقتصار (رياضيات)

في الرياضيات، اقتصار دالة $f$ هي دالة جديدة يرمز لها بـ $f\vert _{A}$ أو $f{\upharpoonright _{A}}$، يُحْصَلُ عليها من خلال اختيار أصغر مجال للدالة الأصلية $f$.

الدالة $x^{2}$ ليس لديها دالة عكسية على المجال $.\mathbb {R}$ إذا قمنا باقتصار $x^{2}$ على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة، عندها يكون لها دالة عكسية، المعروفة بأسم الجذر التربيعي لـ$x$.

تعريف

بفرض أن $f:E\to F$ هي دالة من مجموعة $E$ لمجموعة $F$، وإذا كانت المجموعة $A$ هي مجموعة فرعية من $E$، فإن اقتصار $f$ على $A$ هي الدالة:

$${f|}_{A}:A\rightarrow F$$

حيث ${f|}_{A}(x)=f(x)$ لكل قيم $x\in A$، بمعنى أن اقتصار $f$ على $A$ هي نفس الدالة $f$، ولكن معرفة فقط على $A$.

إذا نظرنا للدالة $f$ على أنها علاقة رياضية $(x,f(x))$ في الجداء الديكارتي $E\times F$، فإن اقتصار $f$ على $A$ يمكن تمثيله بالرسم البياني الخاص بها $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$ حيث العلاقة $(x,f(x))$ تمثل الأزواج المرتبة في الرسم البياني $.G$

امتدادات

يُقال أن دالة $F$ امتداد ( باللغة الأنجليزية "extension") دالة أخرى $f$ إذا كان في كل مرة تكون $x$ في مجال $f$، فإنها أيضا في مجال $F$ و $f(x)=F(x)$. تحديدًا إذا كانت $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ و $.F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f$

الامتداد الخطي (باللغة الأنجليزية "linear extension" وأيضًا الامتداد المستمر) للدالة $f$ هو تحويل خطي لـ $f$ (وأيضًا تحويل مستمر).

أمثلة

1. اقتصار الدالة الغير متباينة $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ على المجال $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ هو التباين $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$.
2. دالة المضروب تنتج من اقتصار الدالة غاما على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة لأننا نطرح 1 من $n$ ، أي: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$.

خصائص الاقتصار

• اقتصار دالة $f:X\rightarrow Y$ على المجال بأكمله $X$ يعيد إلى الدالة الأصلية، أي $f|_{X}=f$ .
• اقتصار دالة مرتين هو نفسه اقتصارها مرة واحدة، أي إذا كان $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ ، فإنّ:$(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ .
• اقتصار الدالة المحايدة المعرفة على مجموعة $X$ على مجموعة فرعية $A$ من $X$ هو مجرد تباين قانوني من $A$ إلى $.X$
• اقتصار دالة مستمرة هو عبارة عن دالة مستمرة.

تطبيقات

دوال عكسية

المقالة الرئيسة: دالة عكسية

لكي يكون لـ الدالة $f$ دالة عكسية، يجب أن تكون تقابلية، وإذا لم تكن f كذلك، يمكن تحديد دالتها العكسية عن طريق اقتصارها (تقييدها) على جزء من المجال.

على سبيل المثال، دالة $f(x)=x^{2}$المُعرّفة عموماً على $\mathbb {R}$ ليست تقابلية لأن $x^{2}=(-x)^{2}$ وذلك لكل $x$ من $.\mathbb {R}$

ومع ذلك، تصبح الدالة $f(x)=x^{2}$ تقابلية إذا اقتصرنا على المجال $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty [$، في هذه الحالة

$f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

ملاحظة:

إذا كنا نود أن نقتصر على المجال $]-\infty ,0]$، فإن دالتها العكسية ستكون( $-{\sqrt {y}}$) بدلًا من ذلك، ليست هناك حاجة لاقتصار المجال إذا كنا لا نريد إيجاد الدالة العكسية كونها دالة متعددة القيم.

الحزم

المقالة الرئيسة: حزمة (رياضيات)

انظر أيضاً

• قيد
• انكماش تشويهي
• علاقة ثنائية